*2

n+e posted @ 2016年10月23日 19:31 in 日常 with tags 数学 tricks , 2776 阅读

在这个页面某个角落有张小纸条,大家可以找找看~

 

微积分

听说作业很难?

现在发答案不太好。我卡的比较久的是第一题,花了20min……

这里提供一个idea:为什么题目里有 $\frac{1}{n}$ 而不是 $\forall \alpha\in [0,1]$?于是就能把这个区间分成 $n$ 段来考虑。剩下的就没什么了吧……

素拓:n次多项式有n个根

这件事情就是陈酌老师上课讲的,传说中的代数基本定理,现在我们要用一种炫酷的方法证明它。唯一所要知道的就是复数的几何意义和 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

首先要知道,证明 $n$ 次多项式有 $n$ 个根,只要证明有一个根就行了,然后把这个根通过因式分解分出来,剩下 $n−1$ 次多项式,重复这个过程就可以找到 $n$ 个根。

设多项式为 $$f(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n$$ $z$ 和 $f(z)$ 都可以是复数,$f(z)=0$ 就是要让$\mathrm{Re} f(z)=0$ 且 $\mathrm{Im} f(z)=0$。

当 $|z|$ 很大时,忽略低阶项,$f(z)=a_nz^n$。设 $z=re^{iθ}$,那么 $f(z)=a_nr^ne^{in\theta}$,$\mathrm{Re}f(z)=0$ 就是要让 $n\theta =(k+\frac{1}{2})\pi$,$\theta = (\frac{k}{n}+\frac{1}{2n})\pi$。

$\theta\in [0,2\pi)$,那么 $\mathrm{Re}f(z)=0$ 对应的就是 $2n$ 条射线,同理 $\mathrm{Im}f(z)=0$ 对应的是另外 $2n$ 条射线,$n=3$ 且 $|z|$ 很大时如图。

其中红线为 $\mathrm{Re}f(z)=0$ 的图像,蓝线为 $\mathrm{Im}f(z)=0$ 的图像,黑圈里表示 $|z|$ 不太大时的情况,现在还不知道,一种可能的情况如图,红线和蓝线的交点就是 $f(z)=0$ 的根。

但是 $f(z)$ 是一个光滑的函数,那么圈里的红线应该把圈外的红线两个一组相连,而且不会出现三条线交叉在同一点的情况,否则就不光滑了。如果四条线交叉在同一点,我们可以把交叉点分开,当作它们没有相交。蓝线也是这样。

于是“$n$次多项式有$n$个根”这个问题被我们转化为了一道炫酷的奥数题:圆周上相间排列着 $2n$ 个红点和 $2n$ 个蓝点,用不相交的红线把红点两个一组相连,不相交的蓝线把蓝点两个一组相连,求证红线和蓝线一定相交。用奇偶性很容易证明。

当然没有哪本高数书会讲这么炫酷的方法,$idea$ 来自克莱因的《高观点下的初等数学》。

线性代数

听说大家上课都不听了?

那我也没办法咯……我坐在后排还听到有人说听这些课侮辱智商……感觉药丸

叉积的性质

拉格朗日恒等式$$|\bf{a}\times \bf{b}|^2=|\bf{a}|^2|\bf{b}|^2-(\bf{a}\cdot\bf{b})^2=\begin{vmatrix}\bf a\cdot \bf a&\bf a\cdot \bf b\\\bf b\cdot \bf a&\bf b\cdot\bf b\end{vmatrix}$$

雅可比恒等式$$\bf a\times (\bf b\times \bf c)+\bf b\times(\bf c\times \bf a)+\bf c\times (\bf a\times \bf b)=\bf 0$$

拉格朗日公式$$\bf a\times (\bf b\times \bf c)=\bf b(\bf a\cdot \bf c)-c(\bf a\cdot \bf b)$$

程设

普及小Trick

李宛洲这周考试并且没作业,看了一下刘连成的作业。有一些还是有必要讲的。

1.三角形的面积和周长

多组数据循环应该这样写:

scanf("%d",&repeat);
for(int i=1;i<=repeat;i++)
{
	...
}

其实正常来说没有repeat这样给变量起名的,一般都是T或者TestCase

2.竖式打印

你真的了解printf的格式串的用法吗?

printf("%4d",a); 表示如果a的长度小于4位的话,那么就在a前面补上空格直至4位为止,不信可以拿vs试试 printf("%5d\n",233);

所以根本不需要写什么if(a>1000)...;else if(a>100)...;else ...之类的东西,我大概写了一下长成这样:

#include<cstdio>
int a,b;
int main(){
	scanf("%d%d",&a,&b);
	printf("%5d\n*%4d\n------\n%5d\n%4d\n------\n%5d\n",
a,b,a*(b%10),a*(b/10),a*b);
}

3.铅笔工厂

gcd(a,b)表示a,b的最大公约数,高中课本告诉我们:gcd(a,b)=gcd(a-b,b) (假设a>b),再变个型就是 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

于是只要写个函数

int gcd(int x,int y){return!y?x:gcd(y,x%y);}

然后直接调用gcd(a,b)就能得到a和b的最大公约数了。这样子只要调用 $O(\log(\max\{x,y\}))$ 次就能解决

什么你看不懂?

(!y) 等价于 y==0

表达式A?表达式B:表达式C 等价于 if(表达式A) 表达式B; else 表达式C; ?:也称作三目运算符

注意不能在表达式里面加‘;’,如果要一次性执行很多条语句的话,这样子:a==0?(x=b,y=c):(x=c,y=b);

函数是啥?在这里映射名称叫做gcd,自变量为x和y,到达域为R,然后把算出来的答案返回掉,gcd(x,y)才能有值。

Q: 为啥要这样写?我一个个判断不是也可以吗?

A: 通常情况下,计算机一秒大约能够处理一亿条语句(表达式),比如i++、a+b这样的东西。数据一大,跑的就很慢了。然而log的效率是远远要优于线性的。而且你不觉得这样写比你枚举还要短吗?

6.极限求值

这玩意儿就是在求 $\sin 1$ 的值。【逃

7.数列求和

你真的了解for吗?

#include<cstdio>
int n,a,s,x;
int main(){
	for(scanf("%d%d",&n,&a);n--;s+=x)x=x*10+a;
	printf("%d\n",s);
}

8.素数求和

当然可以一个个数判断,不过太暴力了。

男生们要想在妹子面前show一发,就需要提高自己的姿势水平。

大规模求素数的方法(指求1~n中的所有)有欧拉筛(效率$O(n\log n)$)、线性筛(效率$O(n)$);小规模求素数(指只求一个)的方法有Rabin-Miller。有兴趣的同学可以戳这里

欧拉筛很容易懂,就是枚举i,把i的倍数标记为不是素数。这样总共要做 $\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\cdots+\frac{n}{n}\sim n\log n$ 次,当n=1000000也没问题,能在1s内出解。

#include<cstdio>
int m,n,sum,vis[510]={1,1};//0表示是质数,1表示不是质数
int main(){
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=2;i*i<=n;i++)if(!vis[i])
	for(int j=i+i;j<=n;j+=i)vis[j]=1;
	for(;m<=n;m++)if(!vis[m])sum+=m;
	printf("%d\n",sum);
}

11.方程求根

啥是牛顿迭代法呢?就是先随便给个点$x_0$,在 $(x_0,f(x_0))$ 处作切线 $l_0$,交$x$坐标轴于点 $x_1$,这样一直做会有 $x_2,x_3,\cdots,x_n$出现,并且收敛于某个零点。

具体要怎么求呢?根据刚才的定义手推公式就好了:$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}$$

思修

作业11答案

D;C;B;D;ABD;

---By n+e
Paladin 说:
2016年10月25日 10:08

建议安利代码风格233333

Avatar_small
n+e 说:
2016年10月25日 10:11

[捂脸熊.jpg]@Paladin:

AP SSC fa 3 Question 说:
2022年9月09日 03:07

Formative Assessment means not only an examination, it includes various aspects such as Examination in completed lessons, Reflections, Project work done on the allotted topic and Self also Prepared notes etc. AP SSC fa 3 Question Paper Candidates of Telugu Medium, English Medium & Urdu Medium of the AP State can download the AP 10th Class FA 4 Model Paper 2023 Pdf with answers for the regular exams conducted by the Directorate of Government Examinations, Andhra Pradesh.


登录 *


loading captcha image...
(输入验证码)
or Ctrl+Enter